| 在排列組合中，有三種特別常用的方法：捆綁法、插空法、插板法。這三種方法有特定的應(yīng)用環(huán)境，通過本文以實(shí)例來說明三種方法之間的差異及應(yīng)用方法。 精要：所謂捆綁法，指在解決對于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)整體參與排序，然后再單獨(dú)考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間順序。 提醒：其首要特點(diǎn)是相鄰，其次捆綁法一般都應(yīng)用在不同物體的排序問題中。
【例題】有10本不同的書：其中數(shù)學(xué)書4本，外語書3本，語文書3本。若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有( )種。 解析：這是一個(gè)排序問題，書本之間是不同的，其中要求數(shù)學(xué)書和外語書都各自在一起。為快速解決這個(gè)問題，先將4本數(shù)學(xué)書看做一個(gè)元素，將3本外語書看做一個(gè)元素，然后和剩下的3本語文書共5個(gè)元素進(jìn)行統(tǒng)一排序，方法數(shù)為，然后排在一起的4本數(shù)學(xué)書之間順序不同也對應(yīng)最后整個(gè)排序不同，所以在4本書內(nèi)部也需要排序，方法數(shù)為，同理，外語書排序方法數(shù)為。而三者之間是分步過程，故而用乘法原理得。
【例題】5個(gè)人站成一排，要求甲乙兩人站在一起，有多少種方法？ 解析：先將甲乙兩人看成1個(gè)人，與剩下的3個(gè)人一起排列，方法數(shù)為，然后甲乙兩個(gè)人也有順序要求，方法數(shù)為，因此站隊(duì)方法數(shù)為。 【練習(xí)】一臺(tái)晚會(huì)上有6個(gè)演唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 注釋：運(yùn)用捆綁法時(shí)，一定要注意捆綁起來的整體內(nèi)部是否存在順序的要求，有的題目有順序的要求，有的則沒有。如下面的例題。
【例題】6個(gè)不同的球放到5個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法？ 解析：按照題意，顯然是2個(gè)球放到其中一個(gè)盒子，另外4個(gè)球分別放到4個(gè)盒子中，因此方法是先從6個(gè)球中挑出2個(gè)球作為一個(gè)整體放到一個(gè)盒子中，然后這個(gè)整體和剩下的4個(gè)球分別排列放到5個(gè)盒子中，故方法數(shù)是。 二、插空法 精要：所謂插空法，指在解決對于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問題時(shí)，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。 提醒：首要特點(diǎn)是不鄰，其次是插空法一般應(yīng)用在排序問題中。 【例題】若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法？ 解析：題中要求AB兩人不站在一起，所以可以先將除A和B之外的3個(gè)人排成一排，方法數(shù)為，然后再將A和B分別插入到其余3個(gè)人排隊(duì)所形成的4個(gè)空中，也就是從4個(gè)空中挑出兩個(gè)并排上兩個(gè)人，其方法數(shù)為，因此總方法數(shù)。
【例題】8個(gè)人排成一隊(duì)，要求甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，有多少種方法？ 解析：甲乙相鄰，可以捆綁看作一個(gè)元素，但這個(gè)整體元素又和丙不相鄰，所以先不排這個(gè)甲乙丙，而是排剩下的5個(gè)人，方法數(shù)為，然后再將甲乙構(gòu)成的整體元素及丙這兩個(gè)元素插入到此前5人所形成的6個(gè)空里，方法數(shù)為，另外甲乙兩個(gè)人內(nèi)部還存在排序要求為。故總方法數(shù)為。 【練習(xí)】5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排，要求女生不能相鄰，有多少種方法？ 注釋：將要求不相鄰元素插入排好元素時(shí)，要注釋是否能夠插入兩端位置。 【例題】若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，且A和B不能站在兩端，則有多少排隊(duì)方法？ 解析：原理同前，也是先排好C、D、E三個(gè)人，然后將A、B查到C、D、E所形成的兩個(gè)空中，因?yàn)锳、B不站兩端，所以只有兩個(gè)空可選，方法總數(shù)為。 注釋：對于捆綁法和插空法的區(qū)別，可簡單記為“相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法”。
三、插板法 精要：所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個(gè)元素時(shí)，采用將比所需分組數(shù)目少1的板插入元素之間形成分組的解題策略。 提醒：其首要特點(diǎn)是元素相同，其次是每組至少含有一個(gè)元素，一般用于組合問題中。 【例題】將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法？ 解析：解決這道問題只需要將8個(gè)球分成三組，然后依次將每一組分別放到一個(gè)盒子中即可。因此問題只需要把8個(gè)球分成三組即可，于是可以講8個(gè)球排成一排，然后用兩個(gè)板查到8個(gè)球所形成的空里，即可順利的把8個(gè)球分成三組。其中第一個(gè)板前面的球放到第一個(gè)盒子中，第一個(gè)板和第二個(gè)板之間的球放到第二個(gè)盒子中，第二個(gè)板后面的球放到第三個(gè)盒子中去。因?yàn)槊總€(gè)盒子至少放一個(gè)球，因此兩個(gè)板不能放在同一個(gè)空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數(shù)是。（板也是無區(qū)別的）
【例題】有9顆相同的糖，每天至少吃1顆，要4天吃完，有多少種吃法？ 解析：原理同上，只需要用3個(gè)板插入到9顆糖形成的8個(gè)內(nèi)部空隙，將9顆糖分成4組且每組數(shù)目不少于1即可。因而3個(gè)板互不相鄰，其方法數(shù)為。 【練習(xí)】現(xiàn)有10個(gè)完全相同的籃球全部分給7個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)球，問共有多少種不同的分法? 注釋：每組允許有零個(gè)元素時(shí)也可以用插板法，其原理不同，注意下題解法的區(qū)別。
【例題】將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，一共有多少種方法？ 解析：此題中沒有要求每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍舊是插入2個(gè)板，分成三組。但在分組的過程中，允許兩塊板之間沒有球。其考慮思維為插入兩塊板后，與原來的8個(gè)球一共10個(gè)元素。所有方法數(shù)實(shí)際是這10個(gè)元素的一個(gè)隊(duì)列，但因?yàn)榍蛑g無差別，板之間無差別，所以方法數(shù)實(shí)際為從10個(gè)元素所占的10個(gè)位置中挑2個(gè)位置放上2個(gè)板，其余位置全部放球即可。因此方法數(shù)為。 注釋：特別注意插板法與捆綁法、插空法的區(qū)別之處在于其元素是相同的。
四、具體應(yīng)用 【例題】一條馬路上有編號(hào)為1、2、……、9的九盞路燈，現(xiàn)為了節(jié)約用電，要將其中的三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？ 解析：要關(guān)掉9盞燈中的3盞，但要求相鄰的燈不能關(guān)閉，因此可以先將要關(guān)掉的3盞燈拿出來，這樣還剩6盞燈，現(xiàn)在只需把準(zhǔn)備關(guān)閉的3盞燈插入到亮著的6盞燈所形成的空隙之間即可。6盞燈的內(nèi)部及兩端共有7個(gè)空，故方法數(shù)為。
【例題】一條馬路的兩邊各立著10盞電燈，現(xiàn)在為了節(jié)省用電，決定每邊關(guān)掉3盞，但為了安全，道路起點(diǎn)和終點(diǎn)兩邊的燈必須是亮的，而且任意一邊不能連續(xù)關(guān)掉兩盞。問總共可以有多少總方案？ A、120B、320C、400D、420 解析：考慮一側(cè)的關(guān)燈方法，10盞燈關(guān)掉3盞，還剩7盞，因?yàn)閮啥说臒舨荒荜P(guān)，表示3盞關(guān)掉的燈只能插在7盞燈形成的6個(gè)內(nèi)部空隙中，而不能放在兩端，故方法數(shù)為，總方法數(shù)為。 注釋：因?yàn)閮蛇呹P(guān)掉的種數(shù)肯定是一樣的（因?yàn)閮蛇吺峭鹊匚唬?，而且總的種數(shù)是一邊的種數(shù)乘以另一邊的種數(shù)，因此關(guān)的方案數(shù)一定是個(gè)平方數(shù)，只有C符合。 |
