拉燈問(wèn)題是困惑很多考生的難題,特別是當(dāng)燈的總數(shù)量比較大的時(shí)候,如何來(lái)確定此類問(wèn)題最終亮著的或滅掉的燈的數(shù)量是此類問(wèn)題的關(guān)鍵。
為幫助考生掌握此類題目答題方法,下面,浙江公務(wù)員考試網(wǎng)(http://zymfqzo.cn/)主要從以下幾個(gè)題型具體分析解決此類問(wèn)題的思路。
一、初等拉燈問(wèn)題---倍數(shù)、約數(shù)
例1: 走廊里有10盞電燈,從1到10編號(hào),開始時(shí)電燈全部關(guān)閉。有10個(gè)學(xué)生依次通過(guò)走廊,第1個(gè)學(xué)生把所有的燈繩都拉了一下,第2個(gè)學(xué)生把2的倍數(shù)號(hào)的燈繩都拉了一下,第3個(gè)學(xué)生把3的倍數(shù)號(hào)的燈繩都拉了一下……第10個(gè)學(xué)生把第10號(hào)燈的燈繩拉了一下。假定每拉動(dòng)一次燈繩,該燈的亮與不亮就改變一次。試判定:當(dāng)這10個(gè)學(xué)生通過(guò)走廊后,走廊里有多少盞燈是亮的?
A.2 B.3 C.4 D.5
分析:
(1)原來(lái)電燈全部關(guān)閉,拉一下,亮著;拉兩下,滅了;拉三下,亮著。因此,燈繩被拉動(dòng)奇數(shù)次的燈亮著。
(2)可從最簡(jiǎn)單的情況考慮,把拉過(guò)某號(hào)的學(xué)生號(hào)碼寫出來(lái)尋找規(guī)律,如1號(hào)是第1個(gè)學(xué)生拉過(guò),4是1,2,4號(hào)拉過(guò),6是1,2,3,4號(hào)學(xué)生拉過(guò),10是1,2,5,10號(hào)學(xué)生拉過(guò),也就是第i號(hào)燈的燈繩被拉的次數(shù)就是i的所有約數(shù)的個(gè)數(shù)。由自然數(shù)因數(shù)分解的性質(zhì)知,只有當(dāng)i是平方數(shù)時(shí),i的約數(shù)的個(gè)數(shù)才是奇數(shù),所以只有1,4,9號(hào)燈亮著。
本題答案:1,4,9號(hào)燈亮著,共有3盞燈。選B。
總結(jié):此類拉燈問(wèn)題比較簡(jiǎn)單,假如把數(shù)字?jǐn)U大看起來(lái)會(huì)很麻煩,但思路還是相同的,在做題是要擅長(zhǎng)歸納總結(jié),提煉出基本模型。下面看一下數(shù)字較大的情況:
例2:一間實(shí)驗(yàn)室里有100盞燈,分別編號(hào)為1、2、3、……、100號(hào),它們起初都是關(guān)著的?,F(xiàn)在有學(xué)號(hào)為1、2、3、……、100號(hào)的學(xué)生分別走進(jìn)這間實(shí)驗(yàn)室。1號(hào)學(xué)生把所有的燈的開關(guān)都拉了一次;2號(hào)學(xué)生把偶數(shù)號(hào)的燈的開關(guān)又都拉了一次;3號(hào)學(xué)生把倍數(shù)是3的號(hào)數(shù)的燈的開關(guān)都拉了一次;4號(hào)學(xué)生把倍數(shù)是4的號(hào)數(shù)的燈的開關(guān)都拉了一次;……當(dāng)這100個(gè)學(xué)生全部走進(jìn)了實(shí)驗(yàn)室之后,最后亮著的燈有多少盞?( )
A.4 B.6 C.8 D.10
分析:
(1) 原來(lái)電燈全部關(guān)閉,拉一下,亮著;拉兩下,滅了;拉三下,亮著。因此,燈繩被拉動(dòng)奇數(shù)次的燈亮著。
(2) 思路同例1,所有的平方數(shù)的燈亮著。1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,10盞燈亮著。
選D。
例3:現(xiàn)在有1000盞燈,全亮,每個(gè)燈都由1個(gè)拉線開關(guān)控制。然后拉開關(guān),規(guī)則:
先拉一下1的倍數(shù)的開關(guān)。(也就是說(shuō)每個(gè)燈都得拉一下),然后拉2的倍數(shù)的開關(guān)……
……最后拉1000的倍數(shù)的開關(guān),問(wèn)最后有幾盞燈是亮的?( )
A.21 B.31 C.969 D.979
分析:
(1)原來(lái)電燈全亮著,拉一下,滅了;拉兩下,亮著;拉三下,滅了。因此,燈繩被拉動(dòng)奇數(shù)次的燈滅了。此題先求滅著的燈的數(shù)量,再求亮著的燈。
(2)思路同例1,被拉過(guò)奇數(shù)次的是約數(shù)為奇數(shù)個(gè)的燈,也就是燈號(hào)為平方數(shù)的燈,
1000以內(nèi):最小有1的平方,最大有31的平方。滅掉的燈有31盞,因此亮著燈有1000-31=969盞。
(3)注意:看清本題要求,不能選31,正確答案選C。
二、拉登難題—三集合容斥原理型
例4: 有1000盞亮著的燈,各有一個(gè)拉線開關(guān)控制著?,F(xiàn)按其順序編號(hào)為1、2、3、4、5······1000,然后將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈線拉一下,再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈線拉一下,最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈線拉一下,三次拉完后,亮著的電燈有多少盞?( )
A.468 B.499 C.501 D.532
分析:
(1) 原來(lái)電燈亮著,拉一下,滅了;拉兩下,亮著;拉三下,滅了。因此,燈繩被拉動(dòng)奇數(shù)次的燈滅了。此題先求滅著的燈的數(shù)量,再求亮著的燈。
(2) 注意:此題目拉燈的方法不同前三個(gè)例題。編號(hào)為2的倍數(shù),3的倍數(shù),5的倍數(shù)的燈一次都拉。可以據(jù)此,看做是三集和問(wèn)題。
(3) 三個(gè)圓圈分別代表:上圓---編號(hào)為2的倍數(shù)的燈,有500盞;左圓---編號(hào)為3的倍數(shù)的燈,有333盞燈,右圓---編號(hào)為5的倍數(shù)的燈,有200盞。其燈的亮或滅情況見圖,
(4) 數(shù)據(jù)計(jì)算:即能被2又能被3整除的有1000/6=166個(gè);同理,能被2,5整除的有200個(gè),能被3,5整除的有66個(gè),能同時(shí)被2.3.5整除的有33個(gè)。請(qǐng)學(xué)員把每部分的數(shù)據(jù)填到上圖中,圖中四部分滅的燈有:上圓:500-166-100+33=267;左圓:333-166-66+33=134;右圓:200-100-66+33=67;中心滅:33,四部分滅著的燈共有:267+134+67+33=501,所有亮著燈有1000-501=499.選B。
(5) 注意看清題目,501為易錯(cuò)選項(xiàng)。
拉燈問(wèn)題,題目本身看起來(lái)操作繁瑣,但是其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理不難,熟練掌握此類型題目的解決思路,熟能生巧。
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